【课程笔记】中科大凸优化(三)

【课程笔记】中科大凸优化(三),第1张

上节课知识补充

凸锥的几何解释

不断改变形状的平行四边形

【课程笔记】中科大凸优化(三),image-20220306202437192,第2张

仿射集、凸锥、凸组合的关系

因为凸集的条件是其余两个条件的并集,因此

  • 为什么不是条件越多的,表示范围越小?

    因为在定义仿射集、凸集的时候,要求的是“任意的\(\theta\)组合满足“。“任意”的限制越少,反而约束的对象越多(举例:任意人>任意男性>任意男孩),也就越严格(对任意人满足,必然对任意男性、男孩满足)。也就是只要对任意\(\theta_1 \cdots \theta_k=1\)满足,也就对任意\(\theta_1 \cdots \theta_k=1,\theta_1,\cdots,\theta_k\ge 0\)满足,因此仿射集必为凸集。

    总结:条件的范围越小,结论越弱,越容易成为推论

【课程笔记】中科大凸优化(三),image-20220306183923242,第3张

几种重要的凸集

有集合解释的集合

超平面与半空间

  • 超平面

    【课程笔记】中科大凸优化(三),image-20220306185853923,第4张
    • 超平面不一定是平面,因此不一定是2维,是\(x\)维度低一维的集合
  • 半空间

    【课程笔记】中科大凸优化(三),image-20220306190055574,第5张
    • 原空间被超平面所划分后的空间

球和椭球

  • 【课程笔记】中科大凸优化(三),image-20220306190221834,第6张
    • 二范数表示向量长度(欧氏距离)

    • 证明球是凸集:

      • 三角不等式:两边之和不小于第三边

        \[\|x y\|_{2}\le\|x\|_{2} \|y\|_{2} \]

        向量相加时考虑三角不等式

      • 柯西不等式:最大的平行四边形是矩形

        \[\left|x^{T} y\right| \leq\|x\|_{2}\|y\|_{2} \]

        向量内积时考虑柯西不等式

  • 椭球

    【课程笔记】中科大凸优化(三),image-20220306191510950,第7张
    • 正定矩阵\(P\)
      • 只有方阵才能定义特征值\(Ax=\lambda x\)因此横纵维度必须一致),为了推广到一般矩阵,就有了奇异值,也就是将原矩阵先转换成一个方阵\(A^T A\)
      • 由于对称矩阵特征值非负,因此定义奇异值为新矩阵特征值开根号\(\sqrt{\text{eig}(A^T A)}\)
    • \(P\)为单位阵的时候,退化为球
    • \(P\)为对角阵的时候,长短半轴刚好在坐标轴上
  • 多面体

    【课程笔记】中科大凸优化(三),image-20220306193555917,第8张
    • 有限个半空间(线性不等式)和半平面(线性等式)的交集
  • 单纯形

    【课程笔记】中科大凸优化(三),image-20220306193820748,第9张 【课程笔记】中科大凸优化(三),image-20220306193832128,第10张
    • 单纯形是\(k\)个构成线性无关向量的点的凸包

    • 单纯性维度不能超过空间维度(二维中是三角形,三维中是四面体)

    • 证明:任一单纯形一定是一个多面体

      思路:构造法,将单纯形内点的表示转化为多面体的表示

      【还没完全看懂,之后更新】

抽象集合

  • 对称矩阵集合:\(\mathbf{S}^{n}=\left\{X \in \mathbf{R}^{n \times n} \mid X=X^{T}\right\}\)

  • 对称半正定矩阵集合:\(\mathbf{S}_{ }^{n}=\left\{X \in \mathbf{S}^{n} \mid X \succeq 0\right\}\)

    • 证明:是凸锥

      用正定的定义:任意\(x\in\mathcal{R}^2\),有\(x^TAX\ge 0\)

  • 对称正定矩阵集合:\(\mathbf{S}_{ }^{n}=\left\{X \in \mathbf{S}^{n} \mid X \succ 0\right\}\)

文章来源:https://www.cnblogs.com/mhlan/p/15973304.html

本文经用户投稿或网站收集转载,如有侵权请联系本站。

发表评论

0条回复