Python之枚举法解数学题

Python之枚举法解数学题,第1张

作为初二的学生,数学题总是令我苦恼的问题。尤其是我们这里的预备班考试(即我们这里最好的两所高中提前一年招生,选拔尖子生的考试)将近,我所面对的数学题越发令人头疼。

这不,麻烦来了:

Python之枚举法解数学题,第2张

如图,在正方形ABCD中,E在射线BC上,连接AE、CE,则DE/AE的最小值为________.

拿到这题,信心慢慢的我从容淡定地设AB:CE为1:x,即AB=k,CE=xk,于是原式(设为y)=[k^2 (xk)^2]^0.5/[k^2 (k xk)^2]^0.5(这里的“^”代表乘方)。这不就只要求[k^2 (xk)^2]/[k^2 (k xk)^2]的最小值嘛!这是一个求代数式最小值的问题。

可是……越看越不对劲。这个代数式是个分式,而我们常接触的同类型题涉及的都只是整式。凭着我对六本初中数学书的印象,我不禁提出疑问:这真的是初中的内容吗?书上似乎只字未提吧?

但是,本着埋头苦干的老黄牛精神,我就在那里毫无结果地和这道题目耗了几个小时。最终,我放弃了。

但也许是梦里来的灵感,第二天早上,我突然想到:何不通过一个Python程序来逐个列举,从中选择近似值呢?

于是,第一个程序出来了:

k=1
answer=100
myx=0
for x in range(10):
    y=(k**2 (x*k)**2)**0.5/(k**2 (k x*k)**2)**0.5
    if y<answer:
        answer=y
        myx=x
print(answer,myx)

输出结果:

0.6324555320336759 1

唉,怎么越看越不对劲?

最后,我终于发现问题的所在:像这样遍历x,它的值都是整数,而事实上最小的y所对应的x不一定是整数。

那好,我们改:

k=1
answer=100
myx=0
for x in range(10000):
    x=x/1000
    y=(k**2 (x*k)**2)**0.5/(k**2 (k x*k)**2)**0.5
    if y<answer:
        answer=y
        myx=x
print(answer,myx)

输出:

0.6180339889095493 0.618

这个总没有问题了吧?还是有问题。你怎么能确定x的区间?

这个问题看似很致命,但并非完全不可解。我们可以大致推断,y的变化趋势应该是先下降后上升或先上升后下降(这个推理对我来说是本能的,以至于我自己都无法详细解释过程,但确实可以推理得到这个结论),而既然是求最小值,那自然是前者。因此,由于x从o.618到1是在增加,所以x一定在0.618或其以下,而这些数显然我们已经遍历到了(至少在某个精度上)。接下来,我们所需要的只是提高精度,以此来得到更接近真实值的结果,并凭借它猜测正确答案。

最终,在较高的精度下(程序与前面大致相同,只是加大了遍历的数值与x缩小的倍数,在此不列出),我们得到结果:

0.6180339887498948 0.618034

我们都知道,黄金分割比的小数点后前65位等于0.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486227,这个数的前面几位和我们遍历的结果完全吻合。我们有理由相信,答案是黄金分割比(5^0.5-1)/2。于是,我们完美地用Python解决了这个问题。

当然,后来我们老师为我们讲解了这题不需要程序的解决方法:设法将式子中未知部分化为x a/x的形式,这个式子永远不会小于2a^0.5。这样,我们就可以求得最值了。

文章来源:https://www.cnblogs.com/godforever/p/16428461.html

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